Áp suất và động năng

Theo thuyết động học, áp suất được tạo ra từ lực các hạt tác động lên thành bình.. Xét một khối khí của N hạt, khối lượng m, chứa trong một bình lập phương thể tích V = L3. Khi một phân tử khí va chạm vuông góc với thành bình theo trục x và nảy lại với cùng tốc độ (va chạm đàn hồi), thì động lượng thành bình nhận được là:[3]

                       Δ        p        =                  p                      i            ,            x                          −                  p                      f            ,            x                          =                  p                      i            ,            x                          −        (        −                  p                      i            ,            x                          )        =        2                  p                      i            ,            x                          =        2        m                  v                      x                                        {\displaystyle \Delta p=p_{i,x}-p_{f,x}=p_{i,x}-(-p_{i,x})=2p_{i,x}=2mv_{x}\,}  

Chất điểm tác động vào một phía xác định của thành bình sau mỗi khoảng thời gian là:

                    Δ        t        =                                            2              L                                      v                              x                                                          {\displaystyle \Delta t={\frac {2L}{v_{x}}}}  

(trong đó L là khoảng cách giữa hai phía của thành bình).Lực do chất điểm tạo ra:

                    F        =                                            Δ              p                                      Δ              t                                      =                                            m                              v                                  x                                                  2                                                      L                          .              {\displaystyle F={\frac {\Delta p}{\Delta t}}={\frac {mv_{x}^{2}}{L}}.}  

Tổng lực tác dụng vào thành bình:

                    F        =                                            N              m                                                                    v                                          x                                                              2                                                        ¯                                                      L                                {\displaystyle F={\frac {Nm{\overline {v_{x}^{2}}}}{L}}}  

Vì chất điểm chuyển động theo hướng ngẫu nhiên nên nếu ta chia vector vận tốc của mọi chất điểm theo 3 hướng vuông góc, thì vận tốc trung bình trên mọi hướng phải bằng nhau. v x 2 ¯ = v 2 ¯ / 3. {\displaystyle {\overline {v_{x}^{2}}}={\overline {v^{2}}}/3.} Công thức lực có thể viết lại thành:

                    F        =                                            N              m                                                                    v                                          2                                                        ¯                                                                    3              L                                      .              {\displaystyle F={\frac {Nm{\overline {v^{2}}}}{3L}}.}  

Lực này tác động lên một diện tích L2. Vì thế áp suất chất khí là:

                    P        =                              F                          L                              2                                                    =                                            N              m                                                                    v                                          2                                                        ¯                                                                    3              V                                            {\displaystyle P={\frac {F}{L^{2}}}={\frac {Nm{\overline {v^{2}}}}{3V}}}  

Nhiệt độ và động năng

Từ Phương trình khí lý tưởng:

P V = N k B T {\displaystyle \displaystyle PV=Nk_{B}T}

Trong đó k B {\displaystyle k_{B}} là hằng số Boltzmann, và T là nhiệt độ tuyệt đối

Từ công thức P = N m v 2 ¯ 3 V {\displaystyle P={Nm{\overline {v^{2}}} \over 3V}} ta có P V = N m v 2 ¯ 3 {\displaystyle PV={Nm{\overline {v^{2}}} \over 3}}

Từ đó N k B T = N m v 2 ¯ 3 {\displaystyle Nk_{B}T={Nm{\overline {v^{2}}} \over 3}}

Thì nhiệt độ T có dạng:
T = m v 2 ¯ 3 k B {\displaystyle \displaystyle T={m{\overline {v^{2}}} \over 3k_{B}}}
Ta suy ra công thức động năng của một phân từ: 1 2 m v 2 ¯ = 3 2 k B T . {\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{2}}m{\overline {v^{2}}}={\frac {3}{2}}k_{B}T.}

Động năng của hệ gấp N lần động năng của một phân từ K = 1 2 N m v 2 ¯ {\displaystyle K={\frac {1}{2}}Nm{\overline {v^{2}}}}

Nhiệt độ trở thành: T = 2 3 K N k B . {\displaystyle \displaystyle T={\frac {2}{3}}{\frac {K}{Nk_{B}}}.}

Công thức trên là một kết luận quan trọng của thuyết động học: Động năng trong bình của phân tử tỉ lệ với nhiệt độ tuyệt đối